- Usare il comando help ed in
particolare help plot, help semilogx, help
loglog, help grid.
- Trovare le radici del polinomio
x4+15x3+7x2+9x+4
- per via grafica
- per via analitica
Per fare ció è necessario
seguire i seguenti passi:
- generare un vettore di x
- valutare il polinomio nei punti di x
(polyval)
- fare il grafico del polinomio (plot)
- trovare le intersezioni con
l’asse y=0
- utilizzare il comando roots
- Ricercare le radici dell’equazione
3x3+5x2+12x+12=x4+15x3+7x2+9x+4
- per via grafica
- per via analitica
Per fare ció è necessario
seguire i seguenti passi:
- fare il grafico dei due membri
dell’equazione e trovare l’intersezione
- fare la sottrazione dei due polinomi
e trovare l’intersezione con l’asse y=0
- utilizzare il comando roots
- Caricare la matrice
e provare ad invertirla.
Per fare ció si possono usare i comandi:
- inv(A)
- A\I
Dove I è la matrice identità che puó
essere creata con il comando I=eye(3)
- Si puó poi calcolare il determinante di A
che risulta essere 0. In questo modo è possibile
confrontarsi con alcuni dei problemi di carattere
numerico che si possono incontrare nell’uso di
Matlab
- Calcolare il polinomio caratteristico di A
- Calcolare gli autovalori di A e vedere che
questi siano uguali alle radici del polinomio
caratteristico di A.
- Caricare la matrice
e provare a calcolare di questa matrice, molto
piú grande, autovalori, autovettori e polinomio caratteristico.
Provare quindi, applicando una opportuna trasformazione, a
mettere la matrice in forma diagonale.
Prima parte
- Il sistema in figura rappresenta una
saldatrice a vibrazione nella quale un pezzo di materiale
plastico fissato superiormente viene fatto oscillare ad
una frequenza stabilita dall'utente e viene portato in
contatto con un pezzo inferiore. Losfregamento tra i due
pezzi provoca la saldatura degli stessi.
- L'intero sistema può essere modellizzato
come riportato in figura, dove la molla rappresenta
l'elemento elastico utilizzato per la vibrazione, mentre
lo smorzatore rappresenta lo smorzamento introdotto dalla
chiusura dei due pezzi tra loro.
- Il modello meccanico della saldatrice,
come visto a esercitazione, ha le seguenti equazioni di
stato:
Dove:
M=10kg;
b=1kg/s;
k=5N/m;
- Se l’ingresso del sistema è la forza
F e l’uscita è la posizione x, scrivere le matrici
A, B, C, D del sistema.
- Sottoporre il sistema ad un ingresso
sinusoidale con frequenza pari a 70.71;
0.7071;0.07071rad/sec
- Calcolare il valore degli autovalori della
matrice A e visualizzare la loro posizione sul piano
complesso.
- Calcolare la risposta al gradino del
sistema
- Con b =30,1.414,0.01 calcolare:
Posizione degli autovalori (poli del
sistema)
Risposta al gradino e la frequenza di
oscillazione della risposta
- Con k=10,20,30 (b =5) calcolare:
Posizione degli autovalori (poli del
sistema)
Risposta al gradino e la frequenza di
oscillazione della risposta
- Dare una spiegazione di come varia la
posizione dei poli al variare di k e b
Seconda parte
- Dato il sistema visto ad esercitazione che
rappresenta il modello di una sospensione di automobile,
riportato in figura,
le cui equazioni di stato sono
le seguenti:
Dove:
m1=5kg;
m2=100kg;
k1=5N/m;
k2=20N/m;
b=50kg/s
- Progettare k2 e b in modo tale che il
sistema sottoposto ad un segnale di prova, relativo al
profilo stradale, abbia una escursione massima inferiore
a 4cm
- Il segnale di prova è di tipo sinusoidale
con frequenza 0.1862rad/sec ed ampiezza 1cm
- Inoltre i valori di k2 e b, devono
essere compresi tra 3<k2<20 e 0<b<50
- Provare a dare delle spiegazioni su cosa
avviene al sistema al variare della rigidezza
dell'ammortizzatore dello smorzamento introdotto dalla
sospensione.
Terza parte
- Disegnare la variazione della posizione
dei poli e degli zeri del sistema descritto dalla
seguente funzione di trasferimento al variare del valore
di K tra 0 e 50
(s+5)
--------------------
s^2+Ks+5K-4
- Disegnare la variazione della posizione
dei poli e degli zeri del sistema descritto dalla
seguente funzione di trasferimento al variare del valore
di K tra 0 e 3 e per ogni valore di k calcolare la
risposta al gradino
K(s+5)
--------------------
s^3+7s^2+(4-K)s+-2+5K
Per ognuna delle funzioni
di trasferimento sotto riportate, ricavare i coefficienti
di errori di posizione (Kp) con il Matlab e verificare i
risultati per via teorica.
5(s+1)
--------------
(s+2)(s+3)
2(s+5)
-----------
s^2+2s+5
96
--------------------------
4(2s+1)(3s+1)(4s+1)
4
----------
(s+3)
- Finire l’esercitazione precedente
- Studiare l’evoluzione nel tempo di un
sistema non lineare (il pendolo semplice) a partire da
diverse condizioni iniziali.
Allo scopo si ricorda che il pendolo semplice è retto
dalle seguenti equazioni
se non c’è smorzamento , altrimenti
le equazioni sono:
dove
Dove q è l’angolo che il braccio del pendolo fa
rispetto alla posizione di riposo. Con l e M si sono indicate
rispettivamente la lunghezza e la massa del pendolo, mentre b rappresenta il
coefficiente di attrito viscoso.
- Linearizzare il sistema attorno alla
posizione di equilibrio e confrontare il comportamento
del sIstema non lineare con quello del sistema
linearizzato.
Per la linearizzazione, supponendo:
allora:
Se f è molto piccolo il sistema diventa:
- Guardare il Demo di controllo,
dando il comando ‘ctrldemo’
- Disegnare i digrammi di Bode e calcolarne
i margini di fase e di guadagno per le seguenti funzioni
viste ad esercitazione:
s(s+100)
----------------
(s+1)(s+10)
100(s+10)^2
-----------------
s^2(s+100)
10s(s+1)
----------------
(s+10)(s+100)
100(s+10)
------------------------
s(s^2+80s+40000)
10(s-1)
-----------
(s+10)
- Disegnare i diagrammi di Bode (modulo e
fase) ed i diagrammi di Nyquist delle seguenti funzioni
di trasferimento
1
----------
(1+s/10)
s+10
-------------------
s(s+1)^2(s+100)
100(s+2)
--------------------
(s+1)^2(s+5)^2(s+10)
s+1
--------------------
s^2(s+2)(s+4)
- Analizzare la stabilità dei sistemi
descritti dalle funzioni di trasferimento sopra
riportate, quando essi vengono chiusi con una retroazione
unitaria. Determinare margine di fase e margine di
guadagno.
- Considerare un sistema tempo-continuo ad
un ingresso ed un'uscita, la cui matrice A sia:
A=[-1.5 -1 1
-1 1.5;
0.5 -1 -4 4 -0.5;
-0.75 0.5 0 1.5 -0.75;
-0.75 -1.5 3 -1.5 1.25;
-0.75 0.5 -2 0.5 0.25];
che è la stessa vista nella prima
esercitazione. Si considerino, come vettori b e c', le colonne e le righe delle seguenti matrici B e C.
B=[0 -0.5 -1;
0 0.75 0.5;
-0.75 0.75 0.5;
0 1.5 1;
0 0.75 0.5];
C=[2 0 1 1 1;
-1 0 1 -1 1;
0 0 1 1 -1];
Provare ad analizzare la controllabilità e
l'osservabilità dei vari sistemi che così si ottengono,
valutando anche la possibilità di realizzare, per ognuno di
essi, una retroazione degli stati misurati e/o osservati, tale
da:
- rendere stabile il sistema
- rendere stabile il sistema e garantire
che le coppie complesse coniugate degli autovalori
abbiano smorzamento >= 0.6
- Per il pendolo inverso riportato in figura
realizzare un controllo generico che stabilizzi il
sistema
Le cui matrici di stato sono:
